無限という概念の面白さ 無限のパラドックスと数学的帰納法

どんもっす。

皆さん、「無限のパラドックス」というものをご存知でしょうか？

一番有名なものはゼノンのパラドックスですが、具体的に例を挙げてみてみましょう。

・ウサギとカメの競争を考える

ウサギとカメがお約束の徒競走で勝負することを想像してみてください。

カメ：1秒間に1cm進むとする

ウサギ：1秒間に10cm進む　つまりカメの10倍の速さとする

この条件で、徒競走を行います。

スタート地点から、ゴール地点まで100cmとします。

カメなら100秒、ウサギは10秒でゴールできる計算ですね。

このまま勝負したのでは、ウサギが圧勝してしまうので、ハンデ戦にします。

ウサギはスタート地点から、カメはスタート地点から90cmの場所、つまりウサギはゴールから100cmの場所に、カメはゴールから10cmの場所にからスタートさせます。

こうすると、ウサギはゴールまで10秒かかり、カメもゴールまで10秒かかるので、同時にゴールできるように思えます。

果たして本当にそうでしょうか？

実際に考えてみましょう。

①スタートから9秒たったとします。

ウサギは90cm進んで、ゴールまで残り10cm、つまり最初にカメがいた地点にいます。

カメはというと、9cm進んでいるので、ゴールまで残り1cmの地点まで進んでいます。

②↑①の状態から、さらに0.9秒たったとします

ウサギは9cm進んで、ゴールまで残り1cmの部分、つまり①のカメの位置まできています。

カメはというと、0.9cm進んでいるので、ゴールまで残り0.1cmの位置にいます。

③↑②の状態からさらに0.09秒たったとします

ウサギは0.9cm進んで、ゴールまで残り0.1cmの位置、つまり②のカメの位置にきています。

カメはというと、0.09cm進んでいるので、ゴールまで残り0.01cmの位置にいます。

以下、繰り返し

…不思議ではないですか？

これ、どれだけ繰り返しても、ウサギは一つ前のカメの位置までしか進めません。

ウサギが、今カメのいる位置に到達した段階で、当然カメも先に進んでおり、その先に進んだ場所までウサギが進んでも、やはりカメはさらに先に進んでいます。

二匹の距離はどんどん縮んでいきますが、永遠に追いつけません！！

これが無限のパラドックス(矛盾)です。

なるほど、確かにウサギは追いつけなさそうです。

でも、現実世界ではそんなことありえまえん。

上の問題の例で行けば、二匹同時にゴールして、そのあとはウサギがどんどんカメを放していきます。

では、上の無限のパラドックスは何がおかしいのでしょう？

答えは、時間を無限に区切っている点ですね。

現実世界で時間を無限に区切って考える（事象を観察する）ことはできません。

ですが、紙面上ではできるので上記のような矛盾が発生してしまいます。

もう一つ、無限の応用で「数学的帰納法」というものを紹介します。

・数学的帰納法とは

１．最初の命題を証明

２．直前の命題が正しいことを利用して、次の命題が正しいことも証明

１、２を利用して、とある事象について無限に拡大して利用可能にすることを数学的帰納法といいます。

実際に考えてみましょう。

とある等式(A)があるとします。ある自然数をnとします。

１）n=1のとき、等式(A)が成り立つことを証明します。

２）n=kのとき、等式(A)が成り立つと仮定します。

その仮定をつかって、n=k+1の時も等式(A)が成り立つことを証明します。

こうすると、k+1のときも等式が成り立つことが証明されたわけですので、kの値を無限にもっていってやれば、全ての自然数nに対して等式(A)が証明されたことになるわけです。

なるほど～、わかったようなわからんような…。

無限って奥が深いですね。

なんでこんな事書いているかというと、ちょっと面白いパラドックスをネット上で見つけたからです。

①お腹が満腹で、もう食べられない状態を仮定する。

②お腹が満腹とは言っても、ご飯粒一つくらいは食べられる

③数学的帰納法より、お腹は常に空腹状態であり、無限に食べることができる

わかりますか？　この理論

お腹の満腹度をnとします。

n=0のとき、つまり空腹のときは、誰でもご飯粒を一つ食べることができます。

この状態をn=1とします。

では、n=1の時は？

ご飯粒を一つ食べたくらいだったら、誰でももう一つご飯粒を食べることができますよね？

つまり、n=1の時もご飯粒を食べることができます。

では、n=kのとき、満腹状態（空腹ではない状態）であると仮定します。

でも、満腹とは言っても、米粒一つくらいなら食べることができそうです。

つまり、n=k+1が成り立ちます。

そうすると、無限に解釈すれば、どんなに満腹状態でも米粒を食べることができ、無限に米粒を食べつつけることができるということになるわけです。

なるほどね～。　

無限に関しては、例えば上の例でいえば、「満腹状態」がどういう状況なのかをしっかりと定義していなかったり、時間のように区切れないものを無限に区切ったり…というようなことをやっているので、このような矛盾が生じます。

なので、あくまで成り立つのは紙面の上でのことなのですが、無限という概念の考え方の面白さ伝わったでしょうか？

＋で中々面白い無限や矛盾についての例題を見つけたので、色々と紹介してみたいと思いますが、今日は長くなったのでこの辺で。

皆さんも無限についてのパラドックスの例、考えてみてください。